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第三章 測量數據處理

本章共分三節：

第一節：測量誤差的處理

第二節：測量不確定度的評定與表示

第三節：測量結果的處理和報告

考試基本要求：

1.根據誤差理論及相關知識，區分兩類不同性質的誤差，并能在實際測量工作中減小系統誤差和隨機誤差。（第一節）

2.根據測量不確定度評定與表示方法，分析測量不確定度的來源，評定測量結果的a類與b類標準不確定度分量，處理不確定度分量間的相關性，計算合成標準不確定度，確定測量結果的擴展不確定度，報告測量結果及其測量不確定度。（第二節）

3.根據數字修約規則，確定測量不確定度和測量結果數據的有效位數。（第三節）

4.根據概率論與統計學的相關知識，判別和剔除測量數據中的異常值，計算算術平均值、加權算術平均值、實驗標準偏差、測量重復性和測量復現性。（第一節）

5.根據測量儀器特性評定方法，評定計量器具的計量特性，計算計量器具的絕對誤差、相對誤差和引用誤差。（第一節）

6.根據合格判定的原則，給出計量器具合格與否的檢定結論。（第一節）

第一節 測量誤差的處理

知識點：測量誤差的一般分類

1、系統誤差（可定誤差）：

由于系統原因引起的誤差，重復出現，單向性；

大小在一定條件下恒定不變；但也存在隨被測量值變化的系統誤差（例：彈簧秤）

大小可測出并校正，故又稱為可定誤差。

可以用對照試驗、空白試驗、校正儀器等加以校正。

2、隨機誤差：

由于某些偶發因素所引起的誤差；

方向大小不固定，但可以通過校正系統誤差后，多次試驗獲其分布規律

可通過多次重復測量、規范測量操作等途徑進行控制。

例如：用單位為厘米的尺子測同一個人的身高，某個測量員測得值為1.735米，而另一個測量員測得值可能為1.736米或1.734米等等。

為了使測量結果更可靠，需要校正系統誤差和控制隨機誤差

知識點：系統誤差的發現（識別）和減小系統誤差的方法

要減小和較正系統誤差，首先要找出引發系統誤差的原因并估計系統誤差的大小：（對癥下藥，采取措施。例：市場賣菜的稱）

有時候要完全識別系統誤差是哪種因素引起的不太容易，而要完全消除系統誤差則是更加困難的。

（一）系統誤差的發現（識別）方法

(1)恒定系統誤差的發現（識別）：

在規定的測量條件下多次測量同一個被測量，從所得測量結果與計量標準所復現的量值之差可以發現并得到恒定的系統誤差的估計值。

(2)可變系統誤差的發現（識別）：

改變測量條件，例如隨時間、溫度、頻率等條件，測量結果按某一確定的規律變化，可能是線性地或非線性地增長或減小，就可以發現測量結果中存在可變的系統誤差。

(二)減小系統誤差的方法

要完全消除系統誤差比較困難，但降低系統誤差則是可能的。

通常，消除或減小系統誤差有以下幾種方法：

1、修正值法（系統誤差估計值已知時）

例如：某次測量結果為30⁰c，根據以往經驗，用計量標準測得的已知系統誤差的估計值為-0.1⁰c，也就是修正值為+0.1⁰c；（修正值與誤差估計值符號相反，絕對值相等）

修正測量結果=未修正測量結果+修正值

修正測量結果為=30⁰c +0.1⁰c=30.1⁰c。

2、消因法（消除引起系統誤差因素：盡可能減少或消除一切產生系統誤差的因素）

例如：

當已知測量的主要系統誤差是由于測量儀器引發時，應在試驗或測量儀器使用時，應對測量儀器先行校準，再對操作者使用儀器進行規范，以便減小誤差。

當已知測量的主要系統誤差是由于讀數或示數引發時，可能由于模擬式儀表讀數時，由于測量人員每個人的習慣不同會導致讀數誤差，就采用數字顯示儀器后來消除人為讀數誤差。

3、抵消法（中和法）：（連因素都找不到的時候）

通過設計適當的測量程序，使多次測量的系統誤差相互抵消而不致帶入測量結果中的方法

試驗和測量中常用的幾種方法：

(1)恒定系統誤差消除法：

①異號法

改變測量中的某些條件，例如測量方向、電壓極性等，使兩種條件下的測量結果中的誤差符號相反，取其平均值以消除系統誤差。

【案例】帶有螺桿式讀數裝置的測量儀存在空行程（延遲作用），即螺旋旋轉時，刻度變化而量桿不動，引起測量的系統誤差。為消除這一系統誤差，可從兩個方向對線。

第一次順時針旋轉對準刻度讀數為d，設不含系統誤差的值為a，空行程引起的恒定系統誤差為e，則d=a+e；

第二次逆時針旋轉對準刻度讀數為d′，此時空行程引起的恒定系統誤差為-e，即d′= a-e。于是取平均值就可以得到消除了系統誤差的測量結果：a=（d+d′）/2。

②交換法

將測量中的某些條件適當交換，例如被測物的位置相互交換，設法使兩次測量中的誤差源對測結果的作用相反，從而抵消了系統誤差。

例如：

用天平稱重，已知系統誤差是由于天平不等臂引起的，則使用如下程序：

第一次在右邊秤盤中放置被測物x，在左邊秤盤中放置砝碼p，天平平衡時被測物的質量為x=p*l_l/l₂，當兩臂相等(l_l=l₂)時x=p；

第二次，將被測物與砝碼互換位置，此時天平不會平衡，改變砝碼質量到p′時天平平衡，則這時被測物的質量為x=p′*l₂/l₁。

             x=（p p′）^1/2

③替代法

　　保持測量條件不變，用某一已知量值的標準器替代被測件再作測量，使指示儀器的指示不變或指零，這時被測量等于已知的標準量，達到消除系統誤差的目的。

 

【案例1】采用高頻替代法校準微波衰減器，其測量原理圖如圖3-1所示。

 

 

 

圖3-1高頻替代法校準微波衰減器測量原理圖

當被校衰減器衰減刻度從a_l改變到a₂時，調節標準衰減器從a_sl到a_s2，使接收機指示保持不變，則被校衰減器的衰減變化量a_l一a₂=a_x等于標準衰減器的衰減變化量a_s=a_s2一a_sl，，可以使微波信號源和測量接收機在校準中不引入系統誤差。

(2)可變系統誤差消除法

　合理地設計測量順序可以消除測量系統的線性漂移或周期性變化引入的系統誤差。

①對稱測量法（應對線性漂移）

【案例1】用電壓表測量被檢電壓源與標準電壓源的輸出電壓之差，由于電壓表零位存在線性漂移(如圖3-2所示)，會使測量引入可變的系統誤差。此時可以采用下列測量步驟來消除這種系統誤差：

順序測量4次，在t₁時刻從電壓表上讀得標準電壓源的電壓測量值a，在t₂時刻從電壓表上讀得被檢電壓源的電壓測量值x，在t₃時刻從電壓表上再讀得被檢電壓源的電壓測量值x′，在t₄時刻再讀得標準電壓源的電壓測量值a′。

a＇≥／／／′′

　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

 

 

 

 

 

 

 

圖3-2對稱測量法

設標準電壓源和被檢電壓源的電壓分別為vs和vx，系統誤差用ε表示，則

t₁時刻：a=vs十ε₁，

t₂時刻：x=vx十ε₂

t₃時刻：x＇=vx十ε₃

t₄時刻：a＇=vs十ε₄

測量時只要滿足t₂一t₁= t₄一t₃，當線性漂移條件滿足時，則有：ε₂—ε₁=ε₄—ε₃

于是有：ε₂+ε₃ =ε₁+ε₄         x+ x＇=2vx+ε₂+ε₃         a+ a＇=2vs+ε₁+ε₄

vx—vs =(x+ x＇)/2—(a+ a＇)/2　，

由上式得到的被檢電壓源與標準電壓源的輸出電壓之差測量結果中消除了由于電壓表線性漂移引入的系統誤差。

②半周期偶數測量法（應對周期性系統誤差）

——這種方法廣泛用于測角儀上。

周期性系統誤差通常可以表示為：

ε=asin

式中：t——誤差變化的周期；

l——決定周期性系統誤差的自變量(如時間、角度等)。

由公式可知，因為相隔t/2（半周期）的兩個測量結果中的誤差是大小相等符號相反的。

 

——所以凡相隔半周期的一對測量值的平均值中不再含有此項系統誤差。

(三)修正系統誤差的方法

1.在測量結果上加修正值（系統誤差為常數時）

　　——修正值的大小等于系統誤差估計值的大小，但符號相反。

——當測量結果與相應的標準值比較時，測量結果與標準值的差值為測量結果系統誤差估計值。

δ=—x_s式中：δ——測量結果的系統誤差估計值；

　　——未修正的測量結果；

　　x_s——標準值。

　注意的是：當對測量儀器的示值進行修正時，δ為儀器的示值誤差

δ=x—x_s式中：x——被評定的儀器的示值或標稱值；

　　x_s——標準裝置給出的標準值。

則修正值c為

c= －δ　　

已修正的測量結果x_c為x _c=  +c

【案例】用電阻標準裝置校準一個標稱值為1ω的標準電阻時，標準裝置的讀數為1.0003ω。問：該被校標準電阻的系統誤差估計值、修正值、修正后的校準結果分別為多少?

【案例分析】

系統誤差估計值=示值誤差

=1ω－1.0003ω

=－0.0003ω

依據修正值的大小等于系統誤差估計值的大小，但符號相反，則

示值的修正值= +0.0003ω

　　　　　　　修正后的校準結果=1ω+0.0003ω=1.0003ω

2.對測量結果乘修正因子（系統誤差與被測量值成比例時）

修正因子c_r等于標準值與未修正測量結果之比（常數）

c_r=x_s/

修正后的測量結果x_c為

x_c=c_r

3.畫修正曲線

　　當測量結果的修正值隨某個影響量的變化而變化，這種影響量例如溫度、頻率、時間、長度等，那么應該將在影響量取不同值時的修正值畫出修正曲線，以便在使用時可以查曲線得到所需的修正值。例如電阻的溫度修正曲線的示意圖如圖3-3所示。

實際畫圖時，通常要采用最小二乘法將各數據點擬合成最佳曲線或直線。

 

 

 

 

 

 

 

圖3-3電阻溫度修正曲線

4.制定修正值表

當測量結果同時隨幾個影響量的變化而變化時，或者當修正數據非常多且函數關系不清楚等情況下，最方便的方法是將修正值制定成表格，以便在使用時可以查表得到所需的修正值。表格形式舉例如表3-1所示。

 

 

　　　　　　　　　　　　　　表3-1電阻的頻率和溫度修正值表ω

溫度/0c 頻率/hz	20	30	40	50	60
10
200

提示注意的是：

(1)修正值或修正因子的獲得，最常用的方法是將測量結果與計量標準的標準值比較得到，也就是通過校準得到。修正曲線往往還需要采用實驗方法獲得。

(2)修正值和修正因子都是有不確定度的。在獲得修正值或修正因子后，需要評定這些值

的不確定度。

(3)使用已修正測量結果時，該測量結果的不確定度中應該考慮由于修正不完善引入的不確定度分量。

知識點：實驗標準差的估計方法

——隨機誤差是由隨機因素引發的誤差，因為隨機因素的不可預計和多樣性，隨機誤差的分量可能會很多，因此隨機誤差不可消除，只能通過多次重復測量加以控制，降低隨機誤差。

（本處教材概念說法有問題，出題可能性不大）

——實驗標準差

用有限次測量的數據得到的標準差的估計值稱為實驗標準差，用符號s表示。

實驗標準差是表征測量值分散性的度量。

當用多次測量的算術平均值作為測量結果時，測量結果的實驗標準偏差是測量值實驗標準偏差的倍(n為測量次數)。

(一)幾種常用的實驗標準偏差的估計方法

在相同條件下，對同一被測量x作n次重復測量，每次測得值為，測量次數為n，則實驗標準偏差可按以下幾種方法估計。

1.貝塞爾公式法

     ——適合于測量次數較多的情況

式中：——n次測量的算術平均值，

　　　　——第i次測量的測得值；

=——殘差

 

               v=n—1——自由度

　　             s(x)——(測量值x的)實驗標準偏差。

【案例】對某被測件的長度重復測量10次，測量數據如下：10.0006m， 10. 0004m，

10.0008m，l0.0002m，10.0003m，l0.0005m，l0.0005m，l0.0007m，l0.0004m，l0.0006m用實驗標準偏差表征測量的重復性，請計算實驗標準偏差。

　　

(1)計算算術平均值：

(2)計算10個殘差：

+0.0001，－0.0001，+0.0003，-0.0003，－0.0002，+0.0000，+0.0000，+0.0002，－0.0001，+0.0001

(3)計算殘差平方和：

(4)計算實驗標準偏差

所以實驗標準偏差s(x)=0.00018m=0.0002m(自由度為n－1=9)。

2.最大殘差法

　　從有限次獨立重復測量的一列測量值中找出最大殘差，并根據測量次數n查表3-2得到值，代入式(3-7)得到估計的標準偏差　　　　　 (3—7)

式中：——殘差系數。

最大殘差法的值列于表3-2。

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15	20
	1.77	1.02	0.83	0.74	0.68	0.64	0.61	0.59	0.57	0.51	0.48

【案例】對于上一個案例，用最大殘差法估算實驗標準偏差。

【案例分析】計算步驟如下

（1）計算算術平均值=10. 0005m(2) 計算10個殘差vi=x_i—

　　+0.0001，-0.0001，+0.0003，-0.0003，-0.0002，+0.0000，+0.0000，+0.0002，

-0.000l，+0.000l

　  (3)找出最大殘差的絕對值為：0.0003m；

　  (4)根據n=10，查表3-2得到=0.57；

　(5)計算實驗標準偏差：

3.極差法

一般在測量次數較小時采用該法。

從有限次獨立重復測量的一系列測量值中找出最大值x_max和x_min，得到極差r=x_max—x_min，根據測量次數n查表3-3得到c值，代入式(3-8)得到估計的標準偏差。

　　　　　　　　　　

s(x)=( x_max—x_min)/c                        (3-8)

 

式中：

c——極差系數。

　極差法的c值列于表3-3。

　　　　　　　　　　　　表3-3極差法的c值表

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15	20
cn	1.13	1.64	2.06	2.33	2.53	2.70	2.85	2.97	3.08	3.47	3.74

【案例】對某被測件進行了4次測量，測量數據為：0.02g，0.05g，0.04g，0.06g。請用極差法估算實驗標準偏差。

【案例分析】

　計算步驟如下：

　　(1)計算極差：r=x_max－x_min=0.06g－0.02g=0.04g

　  (2)查表3-3得c值：n=4，c=2.06；

　  (3)計算實驗標準偏差：s(x)=( x_max—x_min)/c =0.04g/2.06=0.02g。

4.較差法

——適用于頻率穩定度測量或天文觀測等領域。

從有限次獨立重復測量的一列測量值中，將每次測量值與后一次測量值比較得到差值，代入下值得到估計的標準偏差：

(二)各種估計方法的比較

貝塞爾公式法是一種基本的方法，但n很小時其估計的不確定度較大，例如n=9時，由這種方法獲得的標準偏差估計值的標準不確定度為25%，而n=3時標準偏差估計值的標準不確定度達50%，因此它適合于測量次數較多的情況。

極差法和最大殘差法使用起來比較簡便，但當數據的概率分布偏離正態分布較大時，應當以貝塞爾公式法的結果為準。在測量次數較少時常采用極差法。

較差法更適用于頻率穩定度測量或天文觀測等領域。