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6.3流動阻力和能量損失

知識點一:實際流體流動的兩種流態

一、流動狀態實驗—雷諾實驗

層流（片流）：流體質點不相互混雜，流體作有序的成層流動。

特點：（1）有序性。水流呈層狀流動，各層的質點互不混摻，質點作有序的直線運動。

（2）粘性占主要作用，遵循牛頓內摩擦定律。

紊流（湍流）：局部速度、壓力等力學量在時間和空間中發生不規則脈動的流體運動。

特點：（1）無序性、隨機性、有旋性、混摻性。流體質點不再成層流動，而是呈現不規則紊動，流層間質點相互混摻，為無序的隨機運動。

（2）紊流受粘性和紊動的共同作用。

雷諾實驗：觀察流體不同位置的質點的流動狀況的實驗。

動畫：雷諾實驗

實驗結論：流速較低時，流體作層流運動；當流速增高到一定值時，流體作紊流運動。

上臨界流速：層流狀態改變為紊流狀態時的速度。

下臨界流速v_cr：紊流狀態改變為層流狀態時的速度。

實驗證明：v_cr＜＜

二、流動狀態與水頭損失的關系

在雷諾實驗中，用測壓管測定兩點間的水頭損失h_f，并測定管中流體均速v，作出h_f－v的關系圖。

結論：v<v_cr時，層流，h_f與v的關系為oa直線；h_f＝k₁v

      v>時，紊流，h_f與v的關系為cd曲線；h_f＝k₂v^m，m＝1.75～2.0，v達到一定值后，m＝2保持不變—阻力平方區；

      v_cr<v<時，保持原有流態，h_f與v的關系也保持原樣。

三、流動狀態判別標準—雷諾數

流體流動的雷諾數        

式中：ν－流體運動粘性系數；     d－管徑

臨界雷諾數       

下臨界雷諾數：紊流→層流時的臨界雷諾數，是流態的判別標準，它只取決于水流邊界的形狀，即水流的過水斷面形狀。

上臨界雷諾數：，層流→紊流時的臨界雷諾數，它易受外界干擾，數值不穩定。

流態判別—－用下臨界雷諾數

圓管流   ， recr＝2320，則：

re<2320    層流

re>2320    紊流

實際工程中取recr＝2000， 則：

 re<2000    層流

 re>2000    紊流

當過水斷面為非圓斷面時，用水力半徑r＝a/χ作為特征長度。

其臨界雷諾數recr＝500,則:

re<500    層流

re>500    紊流

明渠流:    取recr＝300， 則：    

re<300    層流

re>300    紊流

例：某段自來水管，d=100mm，v=1.0m/s。水溫10℃，（1）試判斷管中水流流態？（2）若要保持層流，最大流速是多少？

解:（1）水溫為10℃時，水的運動粘度，由下式計算得：  

則：

  即：圓管中水流處在紊流狀態。

（2）

要保持層流，最大流速是2.62 cm/s。

知識點二:均勻流基本方程

一、均勻流動基本方程

達蘭貝爾原理：質點系運動的任意時刻，系統中所有質點的慣性力與作用于系統的外力構成平衡力系。

             ———列動平衡方程時，不需考慮慣性力。

均勻流中取一流段l，則a₁=a₂=a，v₁=v₂=v  。

該流段所受作用力：

   （1）兩端面上流體壓力：p₁＝p₁a，p₂＝p₂a

   （2）流段本身重量：  g＝γal　  

在流向上的投影：gcosβ＝γalcosβ

   （3）流體與界壁間的摩擦力：t＝τ₀χl

動平衡方程： p₁－p₂＋gcosβ－t＝0

即：p₁a－p₂a＋γalcosβ－τ₀χl＝0

通除以γa，得：

即：     均勻流動基本方程

靜壓水頭差與摩擦阻力的關系

二、均勻流動中的水頭損失及其與摩擦阻力的關系

列1－1及2－2斷面的伯努利方程：

     即：

∴     均勻流動水頭損失的計算式

可得出：   或      計算均勻流動水頭損失的基本公式

式中：τ₀—流段表面單位面積上所受摩擦力；

      r—過水斷面的水力半徑；

      i－水力坡度。

三、流體在圓管中的層流運動

1、均勻流動中內摩擦力的分布規律

均勻流動水頭損失:

設過水斷面最大半徑為r₀，則水力半徑 r＝r₀/2，

則：

取半徑為r的圓柱形流段，設其表面切應力為τ，則

∴   均勻流動中內摩擦切應力的分布規律

物理意義：圓管均勻流的過水斷面上，切應力呈直線分布，管壁處切應力為最大值τ₀，管軸處切應力為零。

2、圓管層流中速度的分布規律

由   得

牛頓內摩擦定律  ,對圓管中流體,則有

∴      即 

積分得：

管壁處r=r₀，u=0，得

∴    斯托克斯公式

物理意義： 圓管層流過水斷面上流速分布呈旋轉拋物面分布。

最大流速在管軸上（r=0）：

3、圓管層流中的平均速度和流量

平均速度         

將  及 da＝2πrdr 代入，并積分得：

     圓管層流中平均速度

v與u_max比較，可得：v=0.5 u_max

即圓管層流的平均流速是最大流速的一半。

流量

亥根（哈根）－泊肅葉(poiseuille，法國)定律：圓管層流運動，流量與管徑的四次方成正比。

4、圓管層流中的沿程損失

由圓管平均速度公式  得：

又由 得：  

   式中： ，為常量。

以速度水頭的形式表示h_f，則：

  

或             達西公式

式中： 圓管層流的沿程阻力系數（摩阻系數），僅由re確定。

物理意義：圓管層流中，沿程水頭損失與斷面平均流速的一次方成正比，而與管壁粗糙度無關。

適用范圍：只適用于均勻流情況，在管路進口附近無效。

重度為γ、流量為q的流體，在長度為l的圓管中以層流狀態運動時，所消耗的功率為：

知識點三：流體在圓管中的紊流運動

一、運動要素脈動和時均化的概念

時間平均速度：流體質點在某一確定方向（x軸向）的瞬時速度u_x始終圍繞著某一平均值而不斷跳動（即脈動），這一平均值就稱作時間平均速度—時均速度。

    即：瞬時速度u_x對時間t的平均值。

物理意義：以時均速度通過單位面積的流量等于以真實流速u_x通過該面積的流量。

紊流中所有運動要素均進行時均化處理，紊流→準定常流。

∴ 定常流理論可用于分析紊流運動。

二、紊流運動中的摩擦阻力

紊流液體質點的脈動導致了質量交換，形成了動量交換和質點混摻，從而在液層交界面上產生了紊流附加切應力。

相鄰兩層流體間，產生了動量交換。根據動量定理：動量交換值等于摩擦力的沖量。

紊流運動中，內摩擦阻力包括兩部分：牛頓內摩擦阻力（粘性切應力）τ₁、附加切應力τ₂

   

三、紊流運動中的速度分布

根據普朗特理論，圓管中：l=ky，式中：k—實驗常數；y—流體層到管壁的距離。

∴

得：     命—切應力速度。

則：

積分得：

結論：紊流運動中，速度按對數規律分布。

 

另外，普郎特—卡門根據實驗資料得出了圓管紊流流速分布的指數公式：

m＝1/4～1/10

四、沿程阻力系數λ值的確定

沿程損失 

均勻層流中λ＝64/re，均勻紊流中，λ＝f（re，△/r）

圓管均勻紊流中：尼古拉茨實驗圖

第1區——層流區，λ=f(re)，λ=64/re。

第2區——層流轉變為紊流的過渡區，2320<re<4000(3.37<lgre<3.60)，λ=f(re)。范圍很小，意義不大。

第3區——水力光滑管區，紊流狀態，4000<re<26.98(d/△)^8/7。λ=f(re)。

4000<re<100000時：可用布拉休斯公式；

10⁵<re<10⁶時：可用尼古拉茨公式λ=0.0032＋0.221re^-0.237

也可按卡門—普朗特公式計算：

第4區——由“光滑管區”轉向“粗糙管區”的紊流過渡區，。

闊爾布魯克－懷特半經驗公式：

第5區——水力粗糙管區，λ=f(δ/d)。水流處于發展完全的紊流狀態，水流阻力與流速的平方成正比，故又稱阻力平方區。

按闊爾布魯克－懷特公式：

常用管材的管壁粗糙度△值，見附錄表7、8。

莫迪圖——λ與re及δ/d的關系圖：

知識點四： 粘性流體的不均勻流動

一、管徑突然擴大處的局部損失

流道突然擴大, 下游壓強上升, 流體在逆壓強梯度下流動, 極易產生旋渦，從而產生阻力損失。

根據動量方程：p₁a₁-p₂a₂+p(a₂-a₁)=ρq(v₂-v₁)

根據實驗，p＝p₁，

則：（p₁-p₂）a₂＝ρa₂v₂ (v₂-v₁)

∴ p₁-p₂＝ρv₂ (v₂-v₁)

列出過水斷面1－1、2－2的伯努利方程：

由于z₁=z₂，得：

即：

整理得：

即管徑突然擴大產生的局部損失按照連續性方程v₁a₁=v₂a₂，則：

或

式中：ξ₁、ξ₂—局部阻力系數，隨比值a₁/a₂不同而變。

二、其它類型的局部損失

以管徑突然擴大的水頭損失計算公式，作為通用的計算公式：，對不同局部位置，取不同的局部阻力系數ξ。

1、管徑突然收縮

流道突然縮小時,流體在順壓強梯度下流動,在收縮部分不發生明顯的阻力損失。但流體有慣性, 流道將繼續收縮至a-a面, 然后流道重又擴大。這時, 流體轉而在逆壓強梯度下流動, 也就產生旋渦。可見, 突然縮小造成的阻力主要還在于突然擴大。

2、逐漸擴大管

相同a₂/a₁＝4時，突然擴大管ξ＝9.0

a₂/a₁＝4，α＝25°時：

設定λ＝0.03，則ξ＝0.5

逐漸擴大管比突然擴大管損失減少。

隨α增大，ξ增大。

3、逐漸收縮管

   

直線直接收縮管：，ξ與a₂/a₁、α、λ有關

曲線逐漸收縮管：ξ＝0.06～0.005

4、彎頭

折角彎頭：

ξ隨α增大而增大——管道拐彎越急，損失越大。