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5.10組合變形

【內容提要】
組合變形的一般分析方法，斜彎曲的分析方法，掌握有兩根對稱軸、四個角點的截面(如矩形、工字形截面)最大正應力的計算。掌握拉(壓)一彎組合變形的分析方法，對于截面有兩根對稱軸、四個角點的桿，掌握其最大正應力的計算。掌握偏心拉伸(或壓縮)的分析方法，偏心拉(壓)經過簡化后，可歸結為拉伸(或壓縮)與彎曲的組合。掌握彎-扭組合變形下桿橫截面上的應力計算，并用相應的強度理論對危險點進行強度計算。

【重點、難點】
(1)各種基本變形組合時的分析方法；(2)對于有兩根對稱軸、四個角點的截面桿，在斜彎曲、拉(壓)-彎曲、偏心拉(壓)時最大正應力計算；(3)用強度理論解決彎-扭組合變形的強度計算問題。

【內容講解】

知識點一: 組合變形的概念(了解)

　一、組合變形的概念

　　前面研究了構件在基本變形時的強度和剛度計算。但是工程中許多構件在外力作用下往往產生兩種或兩種以上的基本變形，這種變形稱為組合變形。機器中的傳動軸工作時產生彎曲和扭轉變形（圖1）等。 本章主要討論彎曲與拉伸（壓縮）、彎曲與扭轉兩種組合變形的強度計算和應用。

二、組合變形實例

圖2彎扭組合變形	圖3拉彎組合變形	圖4拉扭組合變形	圖5壓彎組合變形

　　三、組合變形的分析方法

　　桿件在組合變形下的強度計算，一般可采用疊加原理。計算時首先通過力的分解或平移，將載荷簡化為符合基本變形外力作用條件的靜力等效力系；然后在變形較小且材料服從虎克定律的條件下，計算每種基本變形各自產生的應力和變形；再進行疊加，即得原載荷作用下的應力和變形；最后根據危險點的應力狀態，建立強度條件。

知識點二:彎曲與拉伸（壓縮）的組合變形 (掌握)

 一、斜拉伸（壓縮）

 如圖a所示矩形懸臂梁，一端固定，一端自由，在自由端作用一力ｆ。設力ｆ位于梁縱向對稱面內，作用線與梁的軸線成α角，則該懸臂梁受到斜拉伸。 計算簡圖b如圖所示。

 

1．外力分析

 將力ｆ沿ｘ、ｙ軸分解得：

軸向拉力ｆ_ｘ使梁產生軸向拉伸變形，橫向力ｆ_ｙ產生彎曲變形，因此梁在ｆ力作用下的變形為拉伸與曲組合變形。

 2．內力分析

在ｆ_ｘ的單獨作用下,梁上各截面的軸向力，在ｆ_ｙ單獨作用下，梁的彎矩。畫出軸向拉伸時桿件的軸力圖和彎曲時的彎矩圖 （圖c、d），可見梁的固定端右側載面上的內力最大，故該截面為危險截面。

3．應力分析

在軸向力ｆ_x作用下，梁的橫向截面上產生均勻分布的拉伸正應力，其值為： 。式中ａ為危險截面的面積。

在橫向力f_y的作用下，使截面產生沿截面高度呈線性分布的彎曲正應力。截面上、下邊緣處的彎曲正應力分別為最大拉應力和最大壓應力，其值為：

　

1．外力分析  將力ｆ沿ｘ、ｙ軸分解得： 　　　　  軸向拉力ｆｘ使梁產生軸向拉伸變形，橫向力ｆｙ產生彎曲變形，因此梁在ｆ力作用下的變形為拉伸與曲組合變形。  2．內力分析 在ｆｘ的單獨作用下,梁上各截面的軸向力，在ｆｙ單獨作用下，梁的彎矩。畫出軸向拉伸時桿件的軸力圖和彎曲時的彎矩圖 （圖c、d），可見梁的固定端右側載面上的內力最大，故該截面為危險截面。                                                   3．應力分析 在軸向力ｆx作用下，梁的橫向截面上產生均勻分布的拉伸正應力，其值為： 。式中ａ為危險截面的面積。  在橫向力fy的作用下，使截面產生沿截面高度呈線性分布的彎曲正應力。截面上、下邊緣處的彎曲正應力分別為最大拉應力和最大壓應力，其值為： 　　　　　  式中ｗ是危險截面的抗彎截面模量，ｆx為拉力時取正值，ｆx為壓力時取負值。在ｆx和fy同時作用下，危險截面上的壓力等于拉伸正應力與彎曲正應力進行疊加 （圖e）。

  4．強度條件

 由式(14-2)知，固定端下邊緣（受拉邊）與上邊緣（受壓邊）處的各點是危險點。要使桿件有足夠的強度，就應使σ_lmax和σ_ymax都不超過其許用應力。故拉彎（或壓彎）組合變形時，桿件的強度條件為：

　　式中[]、[]分別為材料的許用拉應力和許用壓應力。

二、偏心拉伸（壓縮）

如果構件所受的外力平行于構件的軸線，但不通過橫截面的形心，這時構件受到偏心拉伸（壓縮）。例如鉆床立柱（圖14-5）受到的鉆孔進刀力ｐ，不通過立柱的橫截面形心，此時立柱承受偏心載荷。壓力ｐ作用線到截面形心的距離稱為偏心距ｅ。下面以鉆床立柱為例，說明偏心拉伸強度的計算。

例14-2：已知圖14.2.3中所示鉆床立柱。鉆床立柱受到的鉆孔進刀力ｐ，不通過立柱的橫截面形心，此時立柱承受偏心載荷。已知鉆孔力ｐ＝15kn，偏心距ｅ＝400mm，ｄ＝125mm，立柱材料為鑄鐵，許用拉應力[]＝35mpa，許用壓應力[]＝120mpa。試校核該立柱的強度是否足夠。

 

解：（1）外力分析  將力ｐ平移到截面形心處，得到一個加于主柱軸線的力ｐ和一個力偶m。，kn。

（2）變形分析  力ｐ與r使立柱產生軸向拉伸，力偶m與m₀使立柱產生彎曲，所以立柱產生偏心拉伸。

（3）內力分析  畫出立柱的軸力圖和彎矩圖。

軸力：kn     

彎矩：

（4）應力分析 

軸向拉伸在橫截面上引起均勻拉應力mpa

彎曲變形在橫截面上引起的彎曲正應力mpa

（5）強度條件  偏心拉伸（壓縮）與斜拉伸（壓縮）的強度條件相同。

因鑄鐵的抗壓能力強，抗拉能力差，故校核截面上的拉應力即可。

疊加后截面上的最大拉應力為mpa<[]

所以，立柱的強度足夠。

知識點三： 彎曲與扭轉的組合變形（一般考點）

下面以如圖a所示的圓軸ａｂ為例，討論圓軸受彎曲與扭轉的組合變形時的強度計算。其中軸的直徑為d，長度為l，輪半徑為r，在輪緣上作用有力ｐ。

1．外力分析  將ａｂ簡化為ｂ端固定、ａ端自由的懸臂梁。將力ｐ向輪的中心a點簡化，得到一橫向力ｐ和一個力偶矩為m＝pr的力偶。橫向力ｐ使軸產生彎曲，力偶使軸產生扭轉。故該軸受到彎曲與扭轉的組合變形。

2．內力分析  畫出軸的彎矩圖和扭矩圖，如圖14.3.1c、d所示。由圖可看出，截面ｂ處的彎矩ｍ和扭矩ｍ_ｎ都為最大值（），故固定端ｂ為危險截面。

3．應力分析  危險截面ｂ上的應力分布如圖14.3.1e所示。由圖可見，在圓軸的危險截面上，ａ、ｂ兩點處的彎曲正應力和扭轉切應力同時達到最大值，，故兩點為危險點。但σ_max在軸截面內，τ_max在橫截面內，它們位于兩個互相垂直的平面內，任一點的應力不能是兩者簡單的疊加，而是比較復雜的應力狀態。

4．強度計算  在復雜應力狀態下的強度條件應通過強度理論來建立。所謂強度理論，就是根據材料在基本變形下的破壞情況，所提出的材料在復雜應力狀態下的破壞原因是由某一決定性因素引起的。強度理論有以脆性斷裂破壞為標志和以屈服流動破壞為標志的兩大類。以屈服破壞為標志的強度理論，有第三和第四強度理論。由于軸類構件一般用塑性材料制成，故常用第三和第四強度理論建立強度條件分別如下：

　　　　　　（14-3）

　　　　　　（14-4）

將代入式（14-3）和（14-4）,并注意圓截面的，可得

  

 

上兩式分別表示圓軸在彎扭組合變形時，用內力表示的第三和第四強度理論的強度條件。式中ｗ_ｚ為危險截面上的抗彎截面模量，ｗ_ｎ為危險截面上的抗扭截面模量。