勘察設計注冊工程師考試—數學點題
1．若，則為（ ）
(a)0 (b)6 (c)36 (d)∞
【詳解】==0
=-=-=36
因此本題選（c）
２．設f(x)，g(x)是恒大于零的可導函數，且<0，則當a<x<b時，有（ ）
(a)f(x)g(b)>f(b)g(x) (b)f(x)g(a)>f(a)g(x)
(c)f(x)g(x)>f(b)g(b) (d)f(x)g(x)>f(a)g(a)
【詳解】<0<0
在（a,b）單調減少>
即f(x)g(b)>f(b)g(x) (a<x<b)
因此本題選（a）
3．當x→0+時，與等價的無窮小量是（ ）
（a） （b） （c） （d）
【分析】利用常用等價無窮小量排除其中三個不正確的選項即可。
【詳解】由于x→0+時，
，，，
所以選項a、c、d都不能選。
因此本題選ｂ。
【評注】
（ⅰ）以下是ｘ→０時的常用等價無窮小量：
，，，，，
，，．
（ⅱ）當ｘ→０＋時，確是的等價無窮小量，證明如下：
因為，
所以。
4．m=，n=，p=，則有（ ）
(a)n<p<m (b)m<p<n (c)n<m<p (d)p<m<n
【詳解】由對稱區間上奇偶函數積分的性質知：
m=0，n=>0，p=<0
p<m<n.
因此本題選（d）
5．曲線漸近線的條數為（ ）
（a）0 （b）1 （c）2 （d）3
【分析】利用漸近線的定義進行分析，但要意識到，。
【詳解】因
可見y=0是曲線的一條水平漸近線。又x=0是該函數的間斷點，且
，
可見x=0是曲線的一條鉛直漸近線。又因
===0，
可見y=x是曲線的一條斜漸近線，故應選（d）。
6．設函數具有二階導數，且，為自變量在點處的增量，分別為在點處對應的增量與微分，若，則（ ）
(a) . (b) .
(c) . (d)
【分析】畫概圖，利用與的幾何意義可得到正確的選項。
【詳解】由>0,>0可得y=f(x)的概圖如右圖所示，其中mt是曲線y=f(x)在點m（, ）的切線，于是當>0時，=,=.
由圖可知，。
【評注】本題是利用與的幾何解釋獲解的。利用幾何直觀是解選擇題方法之一。
7．設函數f(x)在x=0處連續，下列命題錯誤的是（ ）
（a）若存在，則f(0)=0 (b)若存在，則f(0)=0
（c）若存在，則f‘(0)存在 (d)若存在，則f‘(0)存在
【分析】逐一檢驗各個命題，直到得到錯誤命題。
【詳解】當存在時，由f(x)在x=0處連續得f(0)= =0；
當存在時，由f(x)在x=0處連續得2f(0)= =0，即有f(0)=0；
當存在時，f‘(0)= =存在。
由此可知，選項（a），（b），（c）都應排除。
因此本題選（d）。
8.設直線方程為x=y-1=z，平面方程為x-2y+z=0，則直線與平面（）
（a）重合
（b）平行不重合
（c）垂直相交
（d）相交不垂直
【詳解】直線x=y-1=z可等價變形為：，則可直觀的看出直線的方向向量為s=（1,1,1），過定點（0,1,0），平面x-2y+z=0的法向量為n=（1，-2,1）,則n·s=0，表明平面的法向量與直線的方向向量垂直，從而可知，直線與平面平行，又由于直線過定點（0,1,0）帶入平面方程得知此點不在平面上，從而確定直線與平面平行不重合。
因此本題選（b）
9. 曲線y=x(x-1)(2-x)與x軸所圍成的面積可表示為（ ）
(a)
(b)
(c)
(d)
【詳解】面積s==
=+
10. 設函數u(x,y)=φ(x+y)+φ(x-y)+,其中函數φ具有二階導數，ψ具有一階導數，則必有
(a)=- (b)=
(c)= (d)=
【分析】直接計算二階偏導數即可
【詳解】=++-
=++- ①
=-++
=++- ②
由①②得 =
【評注】當f(x)連續時，有=f(x)
這一公式可推廣為
=-
其中，都是可微函數。
11. 設f(x,y)為連續函數，則等于（ ）
(a) (b)
(c) (d)
【分析】由=畫出d的概圖，由此確定正確選項。
【詳解】由f(x,y)連續知
=，
其中d如右圖所示，由圖可知
即=
【評注】當f(x,y)是連續函數時，要將它的關于極坐標下的二次積分轉化為直角坐標系下的二次積分，首先要確定于極坐標系下二次積分相等的二重積分（實際上只要確定積分區域）；要將f(x,y)的關于直角坐標系下的二次積分轉化極坐標系下的二次積分，也有同樣的說法。
，則可直觀的看出直線的方向向量為s=（1,1,1），過定點（0,1,0），平面x-2y+z=0的法向量為n=（1，-2,1）,則n·s=0，表明平面的法向量與直線的方向向量垂直，從而可知，直線與平面平行，又由于直線過定點（0,1,0）帶入平面方程得知此點不在平面上，從而確定直線與平面平行不重合。