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第三節  數字信號

一、 《 考試大綱 》 的規定

數字信號的邏輯編碼與邏輯演算；數字信號的數值編碼與數值運算。

 

二、重點內容

1 ．數字信號的數值編碼

數字信號是二進制數字符號“ 0 ”和“ 1 ”的物理實現形式，用它來表示數值并進行數值運算，就必須采取二進制形式表示數。二進制數的位按從右向左的順序排列，分別記為第0位，第 1 位，第 2 位， … … 。最右邊的位稱為最低位，記為 lsb （ list significant bit ） ；最左邊的位稱為最高位，記為 msb （ most significant bit ）。每一位稱為一個比特 （ bit ） ，二進制數的每一位對應于數字信號的一個脈動位置，故一個 n bit 的二進制數可以用一個 n bit 的數字信號來表示。

在數字系統中，通常以 4bit 代碼為基本單元來編碼數，基本單元組可以表示 2⁴＝16 個數，故從技術的角度，以 16 為基數按十六進制來表示數較為合理，所以計算機技術中使用十六進制數或十六進制代碼進行數的運算和信息的處理。表 7－3－1 列出的是二進制、十進制、十六進制數的對照表，為便于區別，在十六進制數代碼后面加上一個字母 h 作為標記。

二進制數、十進制數、十六進制數，以及八進制數等，統稱 r 進制數。 r 進制數需注意的是： ① r 進制數中的最大數符為 r－1 ，而不是 r ； ② 每一數符只能用一個字符來表示。不同計數制之間的轉換，具體如下：

 

（ 1 ） r 進制數轉換為十進制數

基數為r的數字，在將其轉換為十進制數時，只要將各位數字與它的位權相乘的積相加，其和數就是十進制數。如下列：

二進制數（ 1101101 . 01 ） ₂ 轉換為十進制數，則：

 

（ 2 ）十進制數轉換為 r 進制數

將十進制數轉換為基數為 r 的等效數值，可將此十進制數分成整數和小數兩部分分別進行各自的轉換，然后再拼接起來即可。對于十進制數的整數部分，采用“除 r 記余”法，即用十進制數的整數連續地除以 r ，其余數即為 r 進制的各位系數。如下列：

對于十進制數的小數部分，可采用“乘 取整”法，即小數部分連續地乘以r，直到小數部分為0或達到所要求的精度為止（小數部分可能永不會為0 ） ，得到的整數即組成 r 進制的小數部分。如下例：

所以，（ 0.125 ） ₁₀＝ （ 0.001 ）₂

需注意的是，十進制小數常常不能完整準確地轉換成等值的二進制小數（或其他 r 進制數），通常會有轉換誤差存在。

將十進制數 17.125 轉換成二進制數，即為： （ 17.125 ） ₁₀＝ （ 1001 . 001 ） ₂

同理，將十進制數 987 轉換成十六進制，如下：

所以， （ 987 ） ₁₀＝（ 3db ） ₁₆

（ 3 ）二、八、十六進制數之間的轉換

由于二、八、十六進制數的權之間有內在的聯系，即 2³＝8 , 2⁴＝16 ，即每位八進制數相當于三位二進制數，每位十六進制數相當于四位二進制數，反之亦然。在轉換時，位組的劃分是以小數點為中心向左、右兩邊分別進行，中間的0不能省略，兩頭不夠時可以補0。

如下例：將（ 10110001 . 00101 ） ₂ 轉換為十六進制數，則：

將（ 3 afb . 4b ） ₁₆ 轉換為二進制數，則：

同樣，將（10101001 . 00101 ） 2 轉換為八進制數，則：

所以， （ 10101001 . 00101 ） 2＝（ 251 . 12 ） 8

將（ 2 6 . 53 ） 8 轉換成二進制數，則：

所以， （ 26 . 53 ） 8 = （ 10110 . 101011 ） 2

2 ．數字信號的數值運算

除了進位規則不同外，二進制數的算術運算法則與十進制數相同。

（ 1 ）加法，它是以最低位開始逐位完成兩數相加和進位操作。

（ 2 ）減法，先引人反碼、補碼的概念，反碼是一個二進制數按位取反，即變 1 , 1 變0。后組成的代碼。如數 1010的反碼是 0101 ；補碼是一個數的反碼加 1 后所得的代碼。如數 1010 的反碼是 0101 ，其補碼為：0101 + 1 ＝0110 。補碼原理是：一個數和另一個數相加等于零，則這個數和另一個數的大小相等符號相反，則其中一個數的代碼就是另一個數的補碼。如數 1010與它的補碼 0110 之和： 1010＋ 0110＝（1） 0000 ，舍去進位后正好是 0 。

因此，在二進制數減法運算中，將減法運算轉化為被減數代碼和減數補碼之間的加法運算。

此外，為了區分正數和負數，在計算機系統內，把二進制代碼的最高位作為符號位，0 表示正數， 1 表示負數。由此，一組 4bit 代碼所能表示的正數、負數如表 7－ 3－2 所示。

 

（ 3 ）乘法，二進制的乘法也是從右向左逐位操作的，如圖 7－3－1 （ a ）所示。從圖 7 －3－1 （a）可發現：它實際上是由一系列“移動”和“相加”操作組成，即被乘數逐步左移并逐步相加即可完成乘法計算。

（ 4 ）除法，二進制數除法運算也是從左向右操作的，如圖 7— 3 —1 （ b ）所示。

從圖 7—3 —1 （ b ）可發現：它實際上是由一系列“移動”和“相減”操作組成，即以被除數逐步右移并逐步與被減數相減的方式完成除法運算。可見，二進制數的運算都可以用它的代碼“移位”和“”（相減轉換為補碼后相加）兩種操作來實現。

由此，它們可以用數字信號的“移位”和數字信號的“相加”操作由移位寄存器電路來實現，實現。

3．數字信號的邏輯編碼和邏輯運算

在邏輯體系中，對邏輯命題只做“真”或“假”、“是”或“非”、“有”和“無”等的簡單判斷，即邏輯命題只取兩個值，用代碼形式可表示為“0”或“ 1 ”兩種狀態。對邏輯函數則只做“與”、“或”、“非”三種基本的運算。數字邏輯體系是指用數字信號表示并采用數字信號處理方法實現演算的一種邏輯體系。數字邏輯是二值的，即“0”“ l ”表示邏輯變量的取值， " 0”表示“假” （ f ） ; " 1 " 表示“真” （ t）。邏輯運算法則，它表述的是一些邏輯等價關系。在邏輯問題中，兩個真值完全相同的邏輯命題或表達或相互等價。常用的等價關系見表 7－3－3 。表中，反演率也稱為摩根定理。邏輯函數的化簡，其目的是簡化其表達式，凸顯其內在邏輯關系，并簡化邏輯運算電路的組成。但是，在邏輯運算電路中要考慮邏輯系統組建的技術因素，故邏輯表達式的簡化形式并非“越簡越好”。

當用數字信號表示邏輯變化的取值情況，邏輯函數的演算即可以通過數字信號處理的方法來實現。在數字系統中，使用專門制作的各種邏輯門電路來自動地完成數字信號之間按位的邏輯運算，并將這些基本的邏輯門電路組合起來組建成組合邏輯系統，就可以完成任意復雜的邏輯函數的運算。

4 ．模一數（ a / d ）轉換和數一模（ d / a ）轉換

（ 1 ）模一數（ a / d ）轉換

a / d 轉換是對采樣信號進行幅值量化處理，即用二進制代碼來表示采樣瞬間信號的值，也即用“0”、“ 1 ”代碼對采樣信號的值進行編碼，從而將采樣信號進一步轉換為數字信號?？梢?， a / d 轉換是對模擬信號進行編碼，變為數字信號。由于系統誤差和外界干擾的影響， a / d 轉換中會產生測量誤差。如一個 8 位的逐次比較型 a / d 轉換器組成一個5v量程的直流數字電壓表，該直流數字電壓表存在一個字的誤差，即一個量化單位的誤差。一個 8 位逐次比較型 a / d 轉換器可以完成 255 （ 2⁸一 l ） 個階梯形逐次增長的電壓，并與被測電壓進行比較。而 5v 量程，則需經過 255 次的比較才完成對 5v 電壓的測量，所以，每一個階梯的電壓值即一個量化單位為：

所以它的一個字的誤差為19.61mv ，相應的滿量程測量精度為： 19.6078mv / 5v = 0. 392 ％。

（2）數一模（d / a ）轉換 d / a 轉換

則是對數字信號進行解碼，將數字信號轉換為模擬信號。從工程技術的角度， d / a 轉換只需用簡單的電阻網絡即可實現。

6.邏輯函數 f＝ab + a＋b 簡化結果為（c）。

a . a + ；

b . a ；

c . a + b；

d . ab