第五節(jié)  截面圖形的幾何性質(zhì)

本節(jié)大綱要求：靜矩和形心；慣性矩和慣性積；平行軸公式；形心主軸及形心主軸慣性矩概念。

靜距與形心
（一）定義

設(shè)任意形狀截面圖形的面積為a(圖5—5—1)，則圖形

對(duì)z、y軸的靜矩（y/zda在整個(gè)圖形范圍內(nèi)的積分，稱為面積a對(duì)做坐標(biāo)軸z、y的靜矩）

  形心c的坐標(biāo)

 （二） 特征

1．靜矩是對(duì)一定的軸而言的，同一圖形對(duì)不同坐標(biāo)軸的靜矩不同。靜矩可能為正、  為負(fù)或?yàn)榱恪?/span>

2．靜矩的量綱為[長度]³，單位為m³。

3．圖形對(duì)任一過形心軸的靜矩為零；反之，若圖形對(duì)某一軸的靜矩為零，則該軸必通過圖形的形心。

4．若截面圖形有對(duì)稱軸，則圖形對(duì)于對(duì)稱軸的靜矩必為零，圖形的形心一定在此對(duì)稱軸上。

5．組合圖形對(duì)某一軸的靜矩，等于各組分圖形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和(圖5—5—2)，即

 

 

慣性矩 、 慣性積

（一）定義

設(shè)任意形狀截面圖形的面積為a(圖5—5—3)，則圖形對(duì)y、z軸的慣性矩

對(duì)o點(diǎn)的極慣性矩

對(duì)y、z軸的慣性積

（二）特征

1．圖形的極慣性矩是對(duì)某一極點(diǎn)定義的，軸慣性矩是對(duì)某—坐標(biāo)軸定義的，慣性積是對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸定義的。

2．極慣性矩、軸慣性矩、慣性積的量綱為長度四次方，單位為m⁴。

3．極慣性矩、軸慣性矩其數(shù)值均為正；慣性積的數(shù)值可正可負(fù)，也可能為零，若一對(duì)坐標(biāo)軸中有一軸為圖形的對(duì)稱軸，則圖形對(duì)這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積必等于零；但圖形對(duì)某—對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，則這對(duì)坐標(biāo)軸中不一定有圖形的對(duì)稱軸。

4．極慣性矩的值恒等于以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任一對(duì)坐標(biāo)軸的軸慣性矩之和，即

5．組合圖形對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩或?qū)δ骋惠S的軸慣性矩，分別等于各組分圖形對(duì)同一點(diǎn)的極慣性矩或?qū)ν惠S的軸慣性矩之和，即

組合圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積，等于各組分圖形對(duì)同—對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積之和，即

 

慣性半徑

（一）定義

任意形狀截面圖形的面積為a，則圖形對(duì)y軸和z軸的慣性半徑分別為

（二）特征

1．慣性半徑是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的。

2．慣性半徑的量綱為長度一次方，單位為m。

3．慣性半徑的數(shù)值恒取正值。

平行移軸公式

設(shè)任意形狀截面圖形的面積為a(圖5—5—4)，形心為c，圖形對(duì)形心軸y_c、z_c的軸慣性矩分別為,慣性積為，則圖形對(duì)平行于形心軸的坐標(biāo)軸y、z的慣性矩和慣性積分別為

 

（慣性矩和截面慣性積的平行移軸公式）

運(yùn)用上述公式時(shí)應(yīng)注意：

1．利用平行移軸公式計(jì)算必須從形心軸出發(fā)；a、b是形心c在新坐標(biāo)系y、z中的坐標(biāo)，所以是有正負(fù)的。

2．在所有相互平行的坐標(biāo)軸中，圖形對(duì)形心軸的慣性矩為最小；但圖形對(duì)形心軸的慣性積不一定是最小。

形心主軸  形心主慣性矩

主慣性軸： 截面圖形對(duì)于某一對(duì)正交坐標(biāo)軸的慣性積為零，則這對(duì)軸稱為主慣性軸，簡稱主軸。即i_yz=0時(shí)，y、z軸即為主軸。

主軸的方位

主慣矩：截面圖形對(duì)主軸的慣性矩，稱為主慣矩。它是圖形對(duì)過同一點(diǎn)的所有坐標(biāo)軸的慣性矩中的最大值和最小值，其值為

且

形心主軸 ：通過圖形形心的一對(duì)主軸。

形心主慣性矩： 截面圖形對(duì)形心主軸的慣性矩。

可以證明：

1．若圖形有一根對(duì)稱軸，則此軸即為形心主軸之一，另一形心主軸為通過圖形形心并與對(duì)稱軸垂直的軸。

2．若圖形有二根對(duì)稱軸，則此二軸即為形心主軸。

3．若圖形有三根以上對(duì)稱軸時(shí)，則通過形心的任一軸均為形心主軸，且主慣矩相等。

常用簡單圖形的慣矩

公式5－5－17為矩形，5－5－18為圓形，5－5－19為空心圓截面

08年考題：

考的基本概念：極慣性矩的值恒等于以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任一對(duì)坐標(biāo)軸的軸慣性矩之和，即