四、動能定理

力對空間的積累效應。

動能定理建立了質點與質點系動能的變化與作用力的功之間的關系，它是研究質點和質點系動力學問題的重要定理之一。接下來先看復習下功

（一）力的功

力的功是力在一段路程中對物體作用的累積效應（空間，而沖量是力對時間的積累效應）。功的單位是n·m，稱為焦耳(j)。功的計算表達式列于表4—3-4、表4—3—5。功是標量，但是有正功負功。

注意：變力做功：微小路程內認為是恒力做功，微元思想——元功，總功是元功的積分。

常見力做功的表述見：

重力始終是豎直向下，所以沿重力方向向下有位移，重力做功為正；相反取負。

彈性力做功：是由元功推導出的，元功fdб=kбdб.

力矩做功——力矩與轉角的乘積。包括力偶。

（二）動能

動能是物體由于速度而具有的能量，它是物體機械運動的一種量度。動能恒為正值。單位與功相同。動能的具體表達式如表4—3—6。

質點系的動能是所有質點動能之和。

注意：定軸剛體轉動動能的表達。1/2jw², 與質點平動動能相似1/2mv²，

平面運動剛體：平動動能+轉動動能

（三）勢能

計算中發現，某些力做功只與質點或者質點系的始末位置有關，這些力叫做保守力。這些力可以用場來描述，如重力（場），彈性力（場），萬有引力（場）。如果物體沿任何一閉合路徑運動一周，保守力做功為零。所以定義與始末位置有關的能量叫勢能。如下定義：

質點或質點系在勢力場中從某一位置運動到零位置時，有勢力的功稱為質點或質點系在該位置的勢能。在不同勢力場中勢能的表達式如表4-3-7。

所以勢能的大小與勢能零位置有關，理論上零位置可以任意選取，實際中選擇利于分析的位置為零。

注意：萬有引力勢能是質點或者質點系的初始矢徑與末矢徑的差。區別于重力勢能和彈性勢能。

（四）動能定理·機械能守恒定律

表4-3-8式中，上角標e與i分別表示外力與內力之功，一般內力的功不等于零；上角標a與n分別表示主動力與約束力之功，如果約束是理想的，即，所以對于理想約束系統，在運用動能定理解題時，只需要分析主動力。

能量是做功轉化的量度，能量變化一定對應做功過程。動能定理就是功能關系方程式。

機械能守恒是指過程中機械能（動能+勢能之和）不變。或者說質點或質點系的外力和非保守內力不做功，或者只有保守力做功，質點系的機械能守恒。

（五）例題

[例4-3-9] 質量為m的直桿ab可以自由地在固定套管中移動，桿的下端a點擱在質量為m、傾角為α的光滑楔塊c上，而楔塊c放在光滑的水平面上，如圖4-3-27所示。由于ab桿的壓力，楔塊沿水平面向右運動，因而桿ab下降。試分別求出任一瞬時桿ab和楔塊c的加速度aab和ac。

[解] 加速度與速度相關，速度與能量相關

本題只需要求加速度，故可直接應用微分形式的動能定理，即

(1)對象：取直桿ab和楔塊c組成的系統為研究對象，并將其處于任一瞬時t的位置，如圖4-3-27所示。

(2)受力分析：系統的約束屬于理想約束（約束：水平面對系統的支持力，約束力做功為零），所受主動力是桿的重力rng和楔塊的重力mg。

(3)運動分析：該兩物體均作平動。設某瞬時直桿ab的速度為vab，楔塊的速度為vc，為了建立此兩速度間關系，對桿ab端點a應用點的速度合成定理，取a點為動點，楔塊為動系，則有

顯然，va=vab，ve=vc，因此，由圖4—3-27所示的速度平行四邊形可得

(4)動能與功的計算。

寫出任一瞬時的動能，且可表示成vab的函數，即

系統在運動中只有桿ab的重力作功，設在dt內桿ab下降ds距離，則ab桿重力所作的元功為

(5)建立動力學方程

將式(1)、式(2)代入形式動能定理，得

注意到

于是上式可寫為

由此可解得ab的加速度

將式

對時間t求導得楔塊的加速度

[例4-3-10] 系統如圖4—3—28所示。已知：物塊m和滑輪a、b的重量均為p，且兩滑輪視為均質圓盤，彈簧的剛性系數為k，繩重不計，繩與輪間無相對滑動。當m離開地面h時，系統處于平衡。現給m以向下的初速度v_o，欲使其恰能到達地面。試問v_o應為多少?

[解] 彈簧彈力變化，不考慮過程，我們用能量——動能定理解決。

以整個系統為研究對象，物塊m作直線平動（只有平動動能），滑輪a作定軸轉動（只有轉動動能），b滑輪作平面運動（平動+轉動動能），求物塊m的初速度v_o，宜用積分形式的動能定理求解。

系統中各物體的動能是多少？這是解題的關鍵。b的動能是最復雜的。

由題給條件知t2=0（末狀態的動能=0），

式中 v_o為物體m的初速度，ω_a是滑輪a的初角速度，ω_b是滑輪b的初角速度，由運動學知識得

式(2)代人式(1)有

在運動過程中只有重力與彈性力做功。設為系統處于平衡位置時彈簧的靜變形，則物塊由平衡位置達地面過程中作用于系統上作用力的功為

這里的關鍵是確定彈簧初末位置的形變：

為解，可取滑輪b為研究對象見圖4—3—28(b)，根據靜力平衡條件，知繩子拉力t=p,

故有

得

代入功的計算公式得

對系統應用動能定理：即

解得

方向如圖所示。

[例4-3-11] 綜合題：

轉動慣量的平行軸定理，定軸的動力學方程，質心運動定理

圖4-3-29所示，均質圓盤可繞o軸在鉛垂面內轉動，圓盤的質量為m，半徑為r。在圓盤的質心c上連接一剛性系數為k的水平彈簧，彈簧的另一端固定在a點，ca=2r為彈簧的原長，圓盤在常力偶矩m的作用下，由最低位置無初速地繞o軸向上轉。試求圓盤到達最高位置時，軸承o的約束反力。

[解] 取圓盤為研究對象。

其在鉛垂平面內作定軸轉動，質心作圓周運動。

當圓盤的質心轉到最高位置時，作用在其上的力有重力p、彈性力f、矩為m的力偶及軸承處的反力x₀與y₀，如圖4-3-29(b)所示。由題意知，欲求圓盤達最高位置時的反力x₀與y₀，必須先解出該瞬時圓盤質心的加速度，故本題屬動力學第一類。

首先由動能定理求圓盤的角速度ω。因初始處于靜止，所以質心由最低位置運動到最高位置時，具體動能定理可寫為1/2jw²：

關鍵轉動慣量的確定——轉動慣量的平行軸定理。轉軸從質心——其他位置轉軸，轉動慣量的確定

將此代入上式，得圓盤處于圖示第ⅱ位置時的角速度為

其次由定軸轉動微分方程求ε，列出圓盤處于第ⅱ位置時的動力學轉動方程為

即

求出角加速度

最后，由質心運動定理求約束反力x₀與y₀，。按圖4—3—29(b)所示坐標系，質心加速度（圓周運動，加速度分為切向加速度和法向加速度，歸結到運動問題）的投影為

（加速度已知道，求力，直接）應用質心運動定理列方程

解得質心處于最高位置時軸承o處的反力為

如果求合力：（是合力，也就是計算正交的力矢量合成）

本題在求得ω后，為什么不用dω/dt求ε呢?因上面用動能定理求到的角速度是質心處于最高位置時，角速度的特定值，故不能求導（求導=0）。如求一般位置的ω，計算彈力的功很繁，因此，不用這種方法，而是用定軸轉動微分方程求ε。所以用哪個方法，哪個定理，求什么量要根據題目的具體情況而定。

另外，定軸轉動剛體的軸承約束反力，一般應假定為兩個垂直分力x₀、y₀，不要無根據地丟掉一個分力。

解題時應注意的問題

1．計算功時除必須注意其正負號外，還必須注意內力所作的功；在計算動能時，必須用相應的絕對速度或絕對角速度來表示。

2．若應用動能定理的微分形式求加速度時，需列出任意瞬時系統的動能及元功的表達式。