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三、傅立葉級數

（一）傅立葉級數概念

1 ．傅立葉系數和傅立葉級數

設 f （ x ）是周期為 2π 的周期函數，則下面公式中出現的積分

都存在，則系數 a₀，a₁, ,b_l… 叫做函數 f （ x ）的傅立葉系數，級數

叫做函數 f （ x ）的傅立葉級數。

2 ．狄利克雷收斂定理

設 f （ x ）是周期為 2 π的周期函數，如果它滿足條件：

（ 1 ）在一個周期內連續(xù)，或只有有限個第一類間斷點；

（ 2 ）在一個周期內至多只有有限個極值點，則 f （ x ）的傅立葉級數收斂，且當 x 是f （ x ）的連續(xù)點時，級數收斂于f（ x ） ；當 x 是f（ x ）的間斷點時，級數收斂于

（二）正弦級數和余弦級數

1 ．正弦級數

若 f （ x ）是周期為 2 π的奇函數，則它的傅立葉系數為

它的傅立葉級數是只含有正弦項的正弦級數

2 ．余弦級數

若 f （ x ）是周期為 2 π的偶函數，則它的傅立葉系數為

它的傅立葉級數是只含有常數項和余弦項的余弦級數

（三）周期為 2l 的周期函數的傅立葉級數

設 f （ x ）是周期為2l的周期函數，則它的傅立葉系數為

而它的傅立葉級數為

（四）例題

【 例 1 - 4 – 14 】 設f（ x ）是周期為 2 π的周期函數，它在  [-π，π），上的表達式為

問 f （ x ）的傅立葉級數在 x ＝-π處收斂于何值。

【 解】所給函數滿足狄利克雷收斂定理的條件，x ＝-π是函數的間斷點，按收斂定理它的傅立葉級數在 x ＝-π處收斂于

 

【 例1- 4 – 15】 將函數

展開成傅立葉級數。

【 解 】 將函數在外作周期延拓，注意到 f （ x ）是偶函數，故

由于 f 在區(qū)間[-π，π]滿足收斂定理的條件，在 [-π，π]上連續(xù)，且 f （π）= f -（π），因此在區(qū)間[-π，π]上，有