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第一節 空間解析幾何 部分

一、主要內容

（一）向量代數

（二）空間解析幾何

1、向量的概念：定義:既有大小又有方向的量稱為向量.

自由向量、相等向量、負向量、重要概念:零向量、向量的模、單位向量、平行向量、向徑.

2、向量的線性運算

(1)  加法：

(2)  減法：

(3)  向量與數的乘法：

3、向量的表示法

向量的分解式：

在三個坐標軸上的分向量：

向量的坐標表示式：

向量的坐標：

向量的加減法、向量與數的乘積等的坐標表達式

向量模長的坐標表示式

向量方向余弦的坐標表示式

4、數量積(點積、內積)

數量積的坐標表達式

兩向量夾角余弦的坐標表示式

5、向量積(叉積、外積)

向量積的坐標表達式

6、混合積

（二）空間解析幾何

空間直角坐標系

 

 

空

間

直

角

坐

標

系

 

共有一個原點,三個坐標軸,三個坐標面,八個卦限.

兩點間距離公式:

它們距離為

2、曲面

曲面方程的定義：

研究空間曲面的兩個基本問題：

（2）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀.

（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程.

[1] 旋轉曲面

定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱之.

這條定直線叫旋轉曲面的軸.

方程特點:

                            

 

（1）球面                  （2）圓錐面                     （3）旋轉雙曲面

                           

 [2] 柱面

定義：平行于定直線并沿定曲線c移動的直線l所形成的曲面稱之.

這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.

從柱面方程看柱面的特征：

                         

 

(1)  平面              (2)  圓柱面          (3)  拋物柱面            (4)  橢圓柱面

                               

 [3] 二次曲面

定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.

           

（1）橢球面                     （2）橢圓拋物面

         

                          

（3）馬鞍面             （4）單葉雙曲面                （5）圓錐面

                

3、空間曲線

[1] 空間曲線的一般方程

[2]  空間曲線的參數方程

如圖空間曲線

一般方程為

參數方程為

 [3]  空間曲線在坐標面上的投影

設空間曲線的一般方程：

消去變量z后得：

曲線在xoy面上的投影曲線為

yoz面上的投影曲線

xoz面上的投影曲線

如圖:投影曲線的研究過程.

空間曲線             投影曲線            投影柱面

 [4]  空間立體或曲面在坐標面上的投影

空間立體

曲面